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鉄拳白書

3D格闘ゲーム『鉄拳』に関して想うことをダラダラと書き綴るblog

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ゲーム理論で解く鉄拳

ちょっと前に某BBSを斜め読みしていたら
「カズヤに奈落と右踵で2択を迫られたら立ちガードとしゃがみガードどちらをすべきなのか?」
みたいな議論があったので私も参加してみました。
で、この手の問題を考える上で”ゲーム理論”なら明確な解答を示してくれるんじゃないかと思って試しに計算してみたんですよ。
そしたら結構スッキリした結果が出たので、せっかくだからコチラにも転載しておこうかなと。
そのままコピペするのもアレなんで図を追加してなるべくわかりやすく解説できるように・・・善処したつもり(笑

ちと長いですよ


・そもそもゲーム理論って何?
ありていに言えば様々な選択肢の中から最適なものを数学的に求める、といった感じでしょうか。
元々はテーブルゲームの攻略法から着想したらしいのですが、今では経済学や社会学、心理学などに応用されています。偉い学者さんがこの理論でノーベル経済学賞を取ったこともあるそうです。
Web上でも解説しているサイトがありますし、大きめの本屋に行けばその手の入門書や解説書がたくさんあるので詳しいことはそちらで。経済系・社会学系の学部なら大学の授業で習うこともあるかもしれません。
私は専門的に勉強したわけではなくネットで聞きかじった程度なので、間違いがあったら指摘よろしく。

結論だけを知りたい方は計算の部分は読み飛ばしちゃってください。

・実際に計算してみる
まずカズヤvsカズヤの場合を考えて、攻撃側のカズヤをA、防御側をBとする。
そしてAが奈落旋風を出す確率をpとし、右踵を出す確率を(1-p)、(0≦p≦1)
Bが立ちガードする確率をqとし、しゃがみガードする確率を(1-q)とする。(0≦q≦1)
他の選択肢(ジャンプS・横移動・バックダッシュ等)及び右踵ガード後の有利不利は考えない。
奈落旋風のダメージは32、右踵しゃがみヒットからのダメージを66、奈落ガード時のコンボダメージを69(ina wikiより)とする。
A・Bそれぞれの利得を考える時、ダメージを与える場合を+(正)で、ダメージを受ける場合を-(負)で表現する。つまり奈落がヒットするならA(攻撃側)の利得は32、B(防御側)の利得は-32となる。
これに奈落のヒットする確率(Aが奈落を出してBが立ちガードする確率)を掛ければ、Aが奈落を出したときの期待値32pqを表すことができる。

A・Bそれぞれの取り得る選択肢(奈落・右踵 立ちガード・しゃがみガード)のダメージを表にすると以下のようになる。

 A/B   [立ち q]   [しゃがみ 1-q]
[奈落 p]  32/-32     -69/69
[右踵 1-p]  0/0     66/-66

この時、Aの取り得るダメージの期待利得の合計Paは
Pa=32pq-69p(1-q)+0・(1-p)q+66(1-p)(1-q)
  =(167q-135)p+66(1-q)
これをpの関数と考えると傾きが正(167q-135>0)の時は右上がりの直線となるから
167q-135>0のとき:Paが最大となる最適反応はp=1(奈落10割)・・・
167q-135=0のとき:Paは一定(Aが何をしようと不変)・・・
167q-135<0のとき:Paが最大となる最適反応はp=0(右踵10割)・・・
fig1

同様にBの取り得るダメージの期待利得Pbは
Pb=-32pq+69p(1-q)+0・(1-p)q-66(1-p)(1-q)
  =-(167p-66)q+135p-66
167p-66>0のとき:Pbが最大となる最適反応はq=0(しゃがみ10割)・・・
167p-66=0のとき:Pbは一定(Bが何をしようと不変)・・・
167p-66<0のとき:Pbが最大となる最適反応はq=1(立ち10割)・・・
fig2
(注:実際にはの直線と縦軸との交点はマイナスになりますがめんどくさわかりやすくするために第1象限に表します)

Paが常に最大となる(Aが常に最適反応をとる)ようなpとqの関係をグラフに表したものをとし、
Pbが常に最大となる(Bが常に最適反応をとる)ようなpとqの関係をグラフに表したものをとして
2つのグラフを重ねた交点、つまり両者が最適反応をとる点(ゲーム理論用語で”ナッシュ均衡”と呼びます)は
(p , q)=(66/167 , 135/167)≒(0.4 , 0.8)
fig3
(この卍型のグラフはこの手の話には必ず出てくるほど重要です。はっきり言ってテストに出ます)

・結論
つまりお互いがダメージ効率を極めた場合
攻撃側は奈落4割、右踵6割
防御側は立ち8割、しゃがみ2割
という割合に落ち着くということになります。

ただしこれはいわゆる攻略法ではなく、あくまで”究極的にこの割合で均衡する”ということなので注意してください。
つまりこの均衡が崩れた場合、例えば攻撃側の奈落の確率が4割超(p>0.4)なら防御側は常にしゃがみガード(q=0)していた方が防御側の利得はさらに大きくなります。まぁ当たり前ですが相手によって変わってくるということで。
ただ、立ちガード8割というのは攻撃側の期待利得の最大値を最小にする(ややこしい言い回しですが、要するに最悪の場合の被害を最小に抑えるってこと(専門用語でmaxmin戦略))という意味では攻略法と言えないこともないので、奈落4割立ちガー8割というのを覚えておいて損はないかもしれません。

コンボダメージによって多少値は変わってきますがさほど大きな誤差にはならないので、他のキャラの場合でも応用が効くと思います。(確反ダメージを60程度にしたり、右踵からのダメージを70位にしてもほとんど変わらない)
これ以外の2択の場合でも数値を入れ替えるだけなので、それぞれのダメージがわかれば誰でも簡単にナッシュ均衡を求めることが出来ます。(ただ3択以上の場合を考えようとするとムチャクチャ難しくなるんですが)
所詮机上の空論かもしれないけどこうやって戦術を考えるのもアリかと。

どう?どう? 面白いっしょ? ゲーム理論って。


・参考
Game Theory 101
初心者向けの優良解説サイト。・・・だったのですがいつの間にやら有料に。
Wikipedia:ナッシュ均衡
ゲーム理論の大家ジョン・フォーブス・ナッシュは映画『ビューティフル・マインド』の主人公です。
ゲーム理論トレーニング(Amazon)
ゲーム理論入門 (日経文庫―経済学入門シリーズ)(Amazon)
図解雑学 ゲーム理論 (図解雑学シリーズ)(Amazon)

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